Πλήρης Οδηγός Εξετάσεων

1.1 Ποσότητα Πληροφορίας

I(x) = log₂(1/p) = −log₂(p)  [bits]

• Σπάνιο σύμβολο (p→0) → πολλή πληροφορία (I→∞)
• Βέβαιο συμβάν (p=1) → μηδενική πληροφορία (I=0)

Ερωτήσεις: 48

1.2 Εντροπία H(X)

H(X) = −Σ pᵢ · log₂(pᵢ)  [bits/σύμβολο]

Ερωτήσεις: 2, 49, 58, 86, 91, 111

1.3 Σύγκριση Πηγών — Κανόνας

Σειρά: H(S3) > H(S2) > H(S1)

Ερωτήσεις: 2, 49

1.4 Δυαδική Εντροπία

Hb(p) = −p·log₂(p) − (1−p)·log₂(1−p)

1.5 Εντροπία Εκτεταμένης Πηγής

• Χωρίς μνήμη (ανεξάρτητα): H(nX) = n · H(X)
• Με μνήμη (εξαρτημένα): H(Xₙ) < n · H(X₁)

Η μνήμη μειώνει την αβεβαιότητα, βελτιώνοντας τη συμπίεση.

Ερωτήσεις: 39, 68, 77, 78, 112

1.6 Αμοιβαία Πληροφορία

I(X;Y) = H(X) − H(X|Y)

• Ιδανικό κανάλι: H(X|Y) = 0 → I(X;Y) = H(X) (μέγιστη)
• Επιλογή καναλιού: Διάλεξε αυτό με μεγαλύτερο I{X,Y}

Παράδειγμα (Ερ. 28):
H1: p_error = 0.02 → I = H(X) − Hb(0.02) = μεγάλο I
H2: p_error = 0.25 → I = H(X) − Hb(0.25) = μικρό I
→ Επιλέγουμε H1.

Ερωτήσεις: 3, 19, 28

1.7 Εντροπία p=1 (βέβαιο σύμβολο)

Αν πάντα στέλνεται ένα και μόνο σύμβολο → H = 0 (ελάχιστη εντροπία)

Ερωτήσεις: 58

2.1 Βασικοί Τύποι

Δ = X_max / 2ⁿ = X_max / N     (βήμα κβαντισμού)
σ²_q = Δ² / 12                   (ισχύς σφάλματος)
ε_max = Δ/2                      (μέγιστο σφάλμα)

2.2 Υπολογισμός n bits

Θέλω μέγιστο σφάλμα < k·A:

Δ/2 < k·A
→ X_max/(2^(n+1)) < k·X_max
→ 2^(n+1) > 1/k
→ n > log₂(1/k) − 1

Παράδειγμα (Ερ. 87): k=0.01 → 2^(n+1) > 100 → n+1 > 6.64 → n = 6

2.3 Αριθμητικό Παράδειγμα Ισχύος Σφάλματος

Ερώτηση 96: Xmax=160, n=5 bits

Δ = 160/2⁵ = 160/32 = 5
σ²_q = 5²/12 = 25/12 ≈ 2.08 ∈ (2, 2.5)

Ερώτηση 106: Xmax=224, n=6 bits

Δ = 224/64 = 3.5
σ²_q = 3.5²/12 = 12.25/12 ≈ 1.02 ∈ [1, 1.5]

2.4 Τύποι Κβαντιστών — ΚΡΙΣΙΜΟ

Ερωτήσεις: 6, 8, 30, 50, 51, 60, 61, 126, 131

2.5 Δειγματοληψία & Nyquist Sampling

f_s ≥ 2·B  (θεώρημα Nyquist)
R_b = n · f_s = n · 2B  [bps]
BW ≥ n · W

• Ερ. 10: W=10kHz, n=10 bits → BW ≥ 10×10 = 100 kHz
• Ερ. 41: W=20kHz, n=20 bits → BW ≥ 20×20 = 400 kHz

2.6 Υπολογισμός Εύρους Ζώνης Σήματος

Ερώτηση 98: n=8 bits, Rb=512 kbps

Rb = n · 2B → 512 = 8 × 2B → B = 512/16 = 32 kHz

Ερώτηση 108: n=9 bits, Rb=540 kbps, oversampling ×1.5

540 = 9 × 1.5 × 2B → B = 540/(9×1.5×2) = 20 kHz

2.7 Θόρυβος Κβαντισμού — Πότε Λευκός;

Ο θόρυβος κβαντισμού θεωρείται λευκός όταν:

1. Η κβάντιση είναι «λεπτή» (πολλά επίπεδα)
2. Η είσοδος αλλάζει τυχαία → δείγματα ομοιόμορφα στο [−Δ/2, Δ/2]
3. Σφάλμα ανεξάρτητο από είσοδο → προσθετικός θόρυβος με σ² = Δ²/12

Ερωτήσεις: 70, 71

2.8 ADC σε Υψηλές Συχνότητες

Τα ADC περιορίζονται τεχνολογικά σε υψηλές συχνότητες (π.χ. 100 GHz). Αυτό είναι σημαντικό πρακτικό εμπόδιο για mmWave και THz επικοινωνίες.

Ερωτήσεις: 37

3.1 Ρυθμός Συμβόλων

R_s = R_b / log₂(M) = R_b / k  [symbols/sec]

Μεγαλύτερο M → μικρότερος R_s. (Π.χ. R_s(4-PAM) > R_s(16-PAM))

Ερωτήσεις: 7, 33, 123

3.2 Ενέργεια Συμβόλου PAM

E_s = A²_m · E_g

Τα σύμβολα τοποθετούνται συμμετρικά ως προς το 0: {−3a, −a, a, 3a} → εξοικονόμηση ενέργειας (μηδενική μέση τιμή).

Ερωτήσεις: 23, 32

3.3 Υπολογισμός a σε 8-PAM (Ερ. 97)

Σύμβολα 8-PAM: {−7α, −5α, −3α, −α, α, 3α, 5α, 7α}

Μέση ισχύς = (2·(49+25+9+1))·α²/8 = 168α²/8 = 21α²
21α² = 84 → α² = 4 → α = 2
A₁ = −7×2 = −14

3.4 PSK (Phase Shift Keying)

• 2 διαστάσεις στο χώρο σημάτων
• Σύμβολα πάνω σε κύκλο σταθερής ακτίνας

2-PSK = 1 bit/symbol, 4-PSK = 2 bits/symbol, 8-PSK = 3 bits/symbol

3.5 Σύγκριση PSK vs FSK

P_b(2-PSK) = Q(√(2E_b/N₀))  <  P_b(2-FSK) = Q(√(E_b/N₀))

Το 2-PSK έχει διπλάσια ενέργεια ανά bit → καλύτερο BER για ίδιο Eb/N₀.

Ερωτήσεις: 95, 114

3.6 FSK & Ορθογώνια Σήματα

• N = M διαστάσεις (κάθε σύμβολο = ξεχωριστή βάση)
• CPFSK: Συνέχεια φάσης → φέρουσα πολλαπλάσιο συμβόλων

3.7 Αύξηση M σε Ορθογώνια (FSK/PPM) — ΚΡΙΣΙΜΟ

Ερωτήσεις: 44, 83, 105, 119

3.8 QAM

2 διαστάσεις, συνδυάζει πλάτος + φάση. Στόχος η μεγιστοποίηση απόστασης μεταξύ συμβόλων (ανοχή θορύβου).

Ερωτήσεις: 84

3.9 4-PAM vs 2-PAM

Το 4-PAM έχει μεγαλύτερη πιθανότητα λάθους από το 2-PAM, διότι τα σύμβολα είναι πιο κοντά μεταξύ τους στον ίδιο άξονα (για ίδια μέση ενέργεια).

Ερωτήσεις: 132, 133

4.1 Χωρητικότητα Καναλιού & Friis

C = W · log₂(1 + SNR) = W · log₂(1 + P/N)  [bps]

Θεώρημα Shannon: Αν R < C → μετάδοση χωρίς σφάλματα.

Για αύξηση C: ↑P (ισχύς) ή ↑W (εύρος ζώνης)

Ερωτήσεις: 5, 29, 88

4.2 Ιδανικό Κανάλι

h(t) = δ(t)  →  H(jΩ) = 1   (βασικής ζώνης)

Αν h(t) ≠ δ(t) → διάχυση σήματος → ISI

Bandlimited κανάλι → sinc στο χρόνο

Ερωτήσεις: 47, 82, 93

4.3 Friis — Απόσβεση Ελεύθερου Χώρου

P_r = P_t · G_t · G_r · (λ/4πd)²
P_a = P_b / d²

Διπλάσια απόσταση → 4× μικρότερη ισχύς.

Ερωτήσεις: 17, 45, 56, 120

4.3b THz Επικοινωνίες & Ατμοσφαιρική Απόσβεση

Το THz φάσμα έχει πολύ μικρή εμβέλεια λόγω απορρόφησης από την ατμόσφαιρα (O₂, H₂O), σκέδασης από σωματίδια και αδυναμίας διαπέρασης υλικών.

Ερωτήσεις: 89

4.4 BSC (Δυαδικό Συμμετρικό Κανάλι)

C = 1 − Hb(p)

Αν p=1, C=1, διότι απλά αντιστρέφουμε τα λαμβανόμενα bits! Η χειρότερη περίπτωση είναι p=0.5 (C=0).

Ερωτήσεις: 57

4.5 Κανάλι με BW < BW σήματος

Αν BW_κανάλι < BW_σήμα → κόβονται οι συχνότητες εκτός BW → απώλειες ανακατασκευής.

Ερωτήσεις: 5, 59

4.6 Ζωνοπερατά Κανάλια

Δεν περιλαμβάνουν τη μηδενική συχνότητα (f=0).

Ερωτήσεις: 16

4.7 Λευκή Στοχαστική Διαδικασία

Καμία συσχέτιση μεταξύ τιμών → αδύνατο να προβλέψεις την επόμενη τιμή.

Ερωτήσεις: 46

5.1 Sinc Παλμός (Ιδανικός)

g(t) = sinc(t/T_s) = sin(πt/T_s) / (πt/T_s)
B_min = R_s / 2

Ερωτήσεις: 34, 43

5.2 Raised Cosine

B = (R_s / 2) · (1 + α)

α = roll-off factor (0 ≤ α ≤ 1). π.χ. (Ερ. 35) Rs = 20 Gsymbols/s, α = 0.5 → B = (20G/2) × 1.5 = 15 GHz

5.3 SRRC (Square Root Raised Cosine)

Πομπός: √RC, Δέκτης: √RC → Σύνολο: RC. Φίλτρο δέκτη = προσαρμοσμένο στο φίλτρο πομπού.

Ερωτήσεις: 5

5.4 Ζεύγος Χρόνου-Συχνότητας (Δυικότητα)

Ορθογωνικός παλμός (χρόνος) ↔ sinc (συχνότητα)
sinc (χρόνος) ↔ ορθογωνικός (συχνότητα)

• Στενός παλμός στο χρόνο = Πλατύ φάσμα (αργή απόσβεση)
• Πλατύς παλμός στο χρόνο = Στενό φάσμα (γρήγορη απόσβεση)

Ερωτήσεις: 1, 36, 90

5.5 Κρουστική Απόκριση & Εύρος Ζώνης

Μεγαλύτερο BW → γρηγορότερη απόκριση (γρηγορότερη απόσβεση h(t)).

Ερωτήσεις: 1

6.1 Huffman

L_avg = Σ pᵢ · lᵢ ≥ H(X)

• Η Huffman βασίζεται στη συχνότητα εμφάνισης.
• Σε μεμονωμένους χαρακτήρες, η αναδιάταξη δεν αλλάζει το δέντρο.
• Σε εκτεταμένη πηγή (blocks) η αναδιάταξη αλλάζει τις πιθανότητες, άρα και το δέντρο.

Ερωτήσεις: 9, 69

6.2 Σύγκριση Κωδίκων

Κριτήρια:

1. L_avg πιο κοντά στο H(X) = μεγαλύτερη αποδοτικότητα (efficiency)
2. Στιγμιαία αποκωδικοποίηση
3. L_avg ≥ H(X) πάντα (κάτω φράγμα Shannon)

Ερώτηση 102: K2 με L_avg=2.25 vs K1 με L_avg=2.5, H=1.75 → K2 καλύτερος.

6.3 Μέσο Μήκος & Shannon

Ερώτηση 91: H = 1.64 bits/symbol → αδύνατο να αναπαρασταθεί με L_avg = 1.5 (πρέπει L_avg ≥ H).

6.4 PCM / DPCM / ADPCM

Ερωτήσεις: 60

6.5 Ισοπίθανα Σύμβολα

Ερώτηση 86: 8 ισοπίθανα σύμβολα → H = log₂(8) = 3 bits/σύμβολο. Δεν γίνεται εξοικονόμηση → χρειάζονται ακριβώς 3 bits ανά σύμβολο.

7.1 BER vs SER

BER ≤ SER ≤ k · BER   (k = log₂M)

Το BER δεν μπορεί ΠΟΤΕ να είναι ίσο με το SER εκτός αν είναι και τα δύο 1 (όλα τα bits λάθος) ή αν k=1.

Η μέγιστη διαφορά BER/SER επιτυγχάνεται σε Gray encoding.

Ερωτήσεις: 4, 52, 64, 94

7.2 Gray Encoding

• Διαδοχικά σύμβολα διαφέρουν 1 bit → SER ≈ k·BER
• Σύμβολα τοποθετούνται στα άκρα (όχι στο 0)

Ερωτήσεις: 52, 72

7.3 Κατώφλι Απόφασης — AWGN

• Ερ. 11: {−1, 4} → θ = (−1+4)/2 = 1.5
• Ερ. 74: {−4, 2} → θ = (−4+2)/2 = −1 (η διασπορά δεν αλλάζει το κατώφλι!)

7.4 Κατώφλι — Μη Συμμετρικός Θόρυβος

Αν ο θόρυβος έχει μέση τιμή μ ≠ 0: Νέα άκρα: a+μ, b+μ → θ* = (a+μ + b+μ) / 2

• Ερ. 13: {−2, 1}, μ=1 → θ = 0.5
• Ερ. 31: {−2, 2}, μ=−1 → θ = −1

7.5 AWGN Θόρυβος Ιδιότητες

• Λευκός: Χωρίς μνήμη, ασυσχέτιστα δείγματα
• Gaussian: Βέλτιστος ο μη ομοιόμορφος κβαντιστής
• Flat φάσμα: Ίδια ισχύς σε όλες τις συχνότητες

7.6 Μετρική Απόδοσης ΨΤΣ

BER ή SER → κύρια μετρική (ψηφιακά). Bps → μετρική αναλογικών.

8.1 & 8.2 Διαστάσεις ανά Σχήμα (M ≥ N)

• PAM = 1, PSK = 2, QAM = 2
• FSK = M, PPM = M (προσοχή: 2-PPM έχει 2 διαστάσεις, N=M)
• Εξαίρεση: 1-PSK → 1 σύμβολο, 2 βάσεις → N > M (σπατάλη BW)

Ερωτήσεις: 25, 53, 63

8.3 Ταξινόμηση κατά Αύξουσες Διαστάσεις (Ερ. 73)

16PAM(1) ≤ 2PPM(2) = 4PSK(2) = 8QAM(2) ≤ 4FSK(4)

8.4 Βασικό Σύστημα ΨΤΣ

Αναλογικό → Δειγματοληψία → Κβαντισμός → Κωδικοποίηση → Κανάλι → Αποκωδ. → Αποδιαμόρφωση

• Ψηφιακός αποδιαμορφωτής = Φωρατής, Αποδιαμ. συσχέτισης
• FSK = Και διαμορφωτής και αποδιαμορφωτής

Κάνε κλικ στα παρακάτω μενού για να δεις τις σωστές απαντήσεις ανά 20άδα.