Πλήρης Οδηγός Εξετάσεων

1.1 Ποσότητα Πληροφορίας

I(x) = log₂(1/p) = −log₂(p)  [bits]

• Σπάνιο σύμβολο (p→0) → πολλή πληροφορία (I→∞)
• Βέβαιο συμβάν (p=1) → μηδενική πληροφορία (I=0)
• Ακολουθία συμβόλων (χωρίς μνήμη): Πρώτα πολλαπλασιάζουμε τις πιθανότητες (π.χ. p(s₁,s₂) = p(s₁)·p(s₂)) και μετά βγάζουμε τον λογάριθμο: I(s₁,s₂) = −log₂(p(s₁)·p(s₂)) = I(s₁) + I(s₂)

Ερωτήσεις: 6, 48

1.2 Εντροπία H(X)

H(X) = −Σ pᵢ · log₂(pᵢ)  [bits/σύμβολο]

Ερωτήσεις: 2, 49, 58, 86, 91, 111, 118

1.3 Σύγκριση Πηγών — Κανόνας

Σειρά: H(S3) > H(S2) > H(S1)

Ερωτήσεις: 2, 49

1.4 Δυαδική Εντροπία

Hb(p) = −p·log₂(p) − (1−p)·log₂(1−p)

Χρησιμοποιείται στο BSC: C = 1 − Hb(p_error). - Hb(0) = Hb(1) = 0 (βέβαιο αποτέλεσμα) - Hb(0.5) = 1 (μέγιστη αβεβαιότητα)

1.5 Εντροπία Εκτεταμένης Πηγής

Γιατί: Η μνήμη σημαίνει ότι το ένα σύμβολο εξαρτάται από τα προηγούμενα → μειώνεται η αβεβαιότητα (redundancy) → μικρότερη εντροπία per σύμβολο. Αυτό βοηθάει τη συμπίεση (π.χ. Huffman σε blocks).

Ερωτήσεις: 39, 68, 77, 78, 112

1.6 Αμοιβαία Πληροφορία

I(X;Y) = H(X) − H(X|Y)

• H(X|Y): Υπό συνθήκη εντροπία — πόση αβεβαιότητα απομένει για X αν ξέρουμε Y
• Ιδανικό κανάλι: H(X|Y) = 0 → I(X;Y) = H(X) (μέγιστη αμοιβαία πληροφορία)
• Επιλογή καναλιού: Διάλεξε αυτό με μεγαλύτερο I{X,Y} → μικρότερο H(X|Y) → μικρότερο p_error

Παράδειγμα υπολογισμού (Ερ. 28):

H1: p_error = 0.02 → H(X|Y) = Hb(0.02) ≈ 0.14 bits → I{X,Y} = H(X) − 0.14  (ΜΕΓΑΛΟ)
H2: p_error = 0.25 → H(X|Y) = Hb(0.25) ≈ 0.81 bits → I{X,Y} = H(X) − 0.81  (ΜΙΚΡΟ)
→ Hb(0.02) < Hb(0.25) → I{X,Y}_H1 > I{X,Y}_H2 → Επιλέγουμε H1

✅ Απ: Α

Ερωτήσεις: 19, 28

1.7 Αριθμητικό Παράδειγμα Εντροπίας

Ερώτηση 109: p = {0.125, 0.125, 0.5, 0.25}

H(S) = −[0.125·log₂(0.125) + 0.125·log₂(0.125) + 0.5·log₂(0.5) + 0.25·log₂(0.25)]
     = −[0.125·(−3) + 0.125·(−3) + 0.5·(−1) + 0.25·(−2)]
     = −[−0.375 − 0.375 − 0.5 − 0.5]
     = 1.75 bits/σύμβολο

✅ Απ: Β

Ερώτηση 118: Μετοχή: 25% ανοδικά (s1), 50% σταθερή (s2), 25% καθοδικά (s3)

p = {0.25, 0.5, 0.25}
H = −[0.25·log₂(0.25) + 0.5·log₂(0.5) + 0.25·log₂(0.25)]
  = −[0.25·(−2) + 0.5·(−1) + 0.25·(−2)]
  = −[−0.5 − 0.5 − 0.5]
  = 1.5 bits/σύμβολο

✅ Απ: Α

Ερώτηση 111: Υπολόγισε H → σύγκρινε με L_avg κωδίκων.

Ερωτήσεις: 86, 91, 109, 111, 118

1.8 Εντροπία Πηγής Άγνωστης Μνήμης

Ερώτηση 79: Πηγή Χ — δεν γνωρίζουμε αν έχει μνήμη. Τι ισχύει για H(X);

H(X) ≤ 1.5 bits/symbol

Αν υπολογίσεις την εντροπία σαν η πηγή να μην έχει μνήμη (με βάση τις πιθανότητες 0.25, 0.50, 0.25), βγαίνει ακριβώς 1.5. Όμως, επειδή παρατηρούμε την «εξέλιξη», η πηγή ενδέχεται να έχει μνήμη (στατιστική εξάρτηση μεταξύ ημερών). Η μνήμη μειώνει πάντα την εντροπία. Άρα, η εντροπία θα είναι μικρότερη ή ίση με 1.5. ✅ Απ: Β

2.1 Βασικοί Τύποι

Δ = X_max / 2ⁿ = X_max / N      (βήμα κβαντισμού — ομοιόμορφο)
σ²_q = Δ² / 12                   (ισχύς/διακύμανση σφάλματος κβαντισμού)
ε_max = Δ/2                       (μέγιστο σφάλμα κβαντισμού)

2.2 Υπολογισμός n bits για Δεδομένο Μέγιστο Σφάλμα

Βασικός Τύπος: Το μέγιστο σφάλμα κβάντισης (ε_max) δίνεται από:

ε_max = Δ/2 = X_max / (2 · 2ⁿ)

Θέλω μέγιστο σφάλμα < k·A (k = κλάσμα, π.χ. 0.01 = 1%) και το σήμα έχει δυναμική περιοχή A (δηλαδή X_max = A):

ε_max = Δ/2 < k·A
→ X_max / (2·2ⁿ) < k·X_max    (απλοποιούμε X_max)
→ 1 / 2^(n+1) < k
→ 2^(n+1) > 1/k
→ n+1 > log₂(1/k)
→ n > log₂(1/k) − 1
→ n = ⌈log₂(1/k)⌉ − 1  (στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω)

Παράδειγμα (Ερ. 87): k=0.01 (σφάλμα < 1%)

2^(n+1) > 100
n+1 > log₂(100) = 6.644
n+1 ≥ 7  →  n ≥ 6

✅ Απ: Β (n=6)

2.3 Αριθμητικά Παραδείγματα Ισχύος Σφάλματος

Ερώτηση 96: Xmax=160, n=5 bits

Δ = 160/2⁵ = 160/32 = 5
σ²_q = 5²/12 = 25/12 ≈ 2.08  → Ανήκει στο (2, 2.5)

✅ Απ: Γ

Ερώτηση 106: Xmax=224, n=6 bits

Δ = 224/2⁶ = 224/64 = 3.5
σ²_q = 3.5²/12 = 12.25/12 ≈ 1.02  → Ανήκει στο [1, 1.5]

✅ Απ: Α

Ερωτήσεις 115, 116, 117: Ίδια μεθοδολογία.

2.4 Κατανομή Θορύβου Κβαντισμού

Ερώτηση 69/70: "Ποια είναι η κατανομή του θορύβου κβαντισμού;"

Ο θόρυβος κβαντισμού έχει ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ κατανομή:

f(x̃) = 1/Δ,   για  −Δ/2 ≤ x̃ ≤ Δ/2

• Μέση τιμή: 0
• Διακύμανση: σ² = Δ²/12
• ΔΕΝ είναι Gaussian, ΔΕΝ είναι τριγωνική

✅ Απ Q70: Β (Ομοιόμορφη στο [−Δ/2, Δ/2])

Πότε θεωρείται "λευκός" ο θόρυβος κβαντισμού: 1. Κβάντιση λεπτή (πολλά επίπεδα, μικρό Δ) 2. Είσοδος αλλάζει τυχαία → δείγματα ανεξάρτητα 3. Στατιστικές ιδιότητες θορύβου ανεξάρτητες από είσοδο → Τότε: ασυσχέτιστα δείγματα σφάλματος = λευκός θόρυβος με σ²=Δ²/12

Ερωτήσεις: 69, 70, 71

2.5 Τύποι Κβαντιστών — ΚΡΙΣΙΜΟ

Ερωτήσεις: 6, 8, 30, 50, 51, 60, 61, 126, 131

2.6 Δειγματοληψία & Nyquist Sampling

f_s ≥ 2·W           (θεώρημα Nyquist — ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας)
R_b = n · f_s        (ρυθμός bit = bits × δείγματα/sec)
R_b = n · 2W         (για ελάχιστη δειγματοληψία)
BW_ψηφ ≥ n · W      (απαιτούμενο BW για μετάδοση PCM)

Ερώτηση 10: W=10kHz, n=10 bits → BW ≥ 10×10 = 100 kHz ✅ Απ: Δ Ερώτηση 41 (1η): W=20kHz, n=20 bits → BW ≥ 20×20 = 400 kHz ✅ Απ: Δ Ερώτηση 81: W=5kHz, n=20 bits → BW ≥ 20×5 = 100 kHz ✅ Απ: Δ

2.7 Υπολογισμός Εύρους Ζώνης Σήματος (αντίστροφη άσκηση)

Ερώτηση 98: n=8 bits, Rb=512 kbps, f_s = 2B (ελάχιστη δειγματοληψία)

Rb = n · 2B
512 = 8 × 2B
B = 512/16 = 32 kHz

✅ Απ: Δ

Ερώτηση 108: n=9 bits, Rb=540 kbps, oversampling ×1.5

Rb = n · (1.5 · 2B)
540 = 9 × 1.5 × 2B
B = 540 / 27 = 20 kHz

✅ Απ: Β

Ερώτηση 117: Ίδια με 98 ✅ Απ: Δ

2.8 ADC σε Υψηλές Συχνότητες (mmWave/THz)

Τα ADC περιορίζονται τεχνολογικά σε υψηλές συχνότητες (π.χ. >100 GHz). Δεν μπορούν να δειγματοληπτούν με αρκετή ταχύτητα ή ανάλυση. Αυτό είναι πρακτικό εμπόδιο για mmWave και THz επικοινωνίες.

Ερωτήσεις: 37

3.1 Ρυθμός Συμβόλων

R_s = R_b / log₂(M) = R_b / k  [symbols/sec]
k = log₂(M)  (bits ανά σύμβολο)

Ερωτήσεις: 7, 33, 123

3.2 Ενέργεια Συμβόλου PAM

E_s = A²_m · E_g        (Eg = ενέργεια βασικού παλμού)

Τα σύμβολα τοποθετούνται συμμετρικά ως προς το 0: {−3a, −a, a, 3a} → εξοικονόμηση ενέργειας γιατί η μέση τιμή = 0.

Αν τα σύμβολα ήταν {1, 3, 5, 7}: μεγαλύτερη μέση τιμή → περισσότερη απαιτούμενη ισχύς.

Ερωτήσεις: 23, 32, 42

3.3 Υπολογισμός α σε 8-PAM

Ερώτηση 97: Γενική μορφή 8-PAM: {−7α, −5α, −3α, −α, α, 3α, 5α, 7α}

Μέση ισχύς = (1/8) · [(7α)² + (5α)² + (3α)² + α² + α² + (3α)² + (5α)² + (7α)²]
           = (2/8) · α² · (49 + 25 + 9 + 1)
           = (α²/4) · 84
           = 21α²

Δίνεται E_avg = 84 → 21α² = 84 → α² = 4 → α = 2
A₁ = −7·2 = −14

✅ Απ: Δ

Ερώτηση 107: Ίδια μεθοδολογία με E_avg = 336 → 21α² = 336 → α = 4 → A₁ = −7·4 = −28

3.4 Σύγκριση 2-PAM vs 16-PAM (Ερ. 134)

3.5 PSK (Phase Shift Keying)

• 2 διαστάσεις στο χώρο σημάτων
• Σύμβολα πάνω σε κύκλο σταθερής ακτίνας (σταθερό πλάτος, μεταβλητή φάση)

Σύγκριση 2-PSK vs 4-PSK (Ερ. 133): Η σύγκριση γίνεται πάντα για την ίδια μέση ενέργεια ανά bit (E_b): - Στο 2-PSK (BPSK), τα 2 σύμβολα είναι αντίποδα (απέχουν γεωμετρικά 180°). - Στο 4-PSK (QPSK), τα 4 σύμβολα απέχουν γεωμετρικά 90°.

Λόγω της μεγαλύτερης γεωμετρικής απόστασης των συμβόλων (για την ίδια ενέργεια), το 2-PSK έχει μεγαλύτερη ελάχιστη απόσταση → μικρότερη πιθανότητα λάθους P_b.

3.6 Σύγκριση PSK vs FSK

P_b(2-PSK) = Q(√(2E_b/N₀))  <  P_b(2-FSK) = Q(√(E_b/N₀))

Ερμηνεία: Για ίδιο Eb/N₀, το 2-PSK έχει διπλάσιο argument στο Q → καλύτερο (χαμηλότερο) BER.

Ερωτήσεις: 95, 114

3.7 FSK & Ορθογώνια Σήματα

• Κάθε σύμβολο = ξεχωριστή βάση → N = M διαστάσεις
• CPFSK (Continuous Phase FSK): Συνέχεια φάσης → χωρίς απότομα "κοψίματα"
• Απαιτεί: οι συχνότητες φέρουσας να είναι πολλαπλάσιο του ρυθμού συμβόλων

3.8 Αύξηση M σε Ορθογώνια (FSK/PPM) — ΚΡΙΣΙΜΟ!

Ερωτήσεις: 44, 83, 105, 119

3.9 QAM

• 2 διαστάσεις, συνδυάζει πλάτος + φάση
• Στόχος σχεδιασμού: Μεγιστοποίηση ελάχιστης απόστασης μεταξύ συμβόλων (για δεδομένη ενέργεια) → μέγιστη ανοχή στον θόρυβο

Ερωτήσεις: 84

4.1 Χωρητικότητα Καναλιού

C = W · log₂(1 + SNR) = W · log₂(1 + P/N)  [bps]
N = W · N₀  (ισχύς θορύβου AWGN)

Θεώρημα Shannon (κωδικοποίησης καναλιού): Αν R < C → υπάρχει κώδικας που επιτρέπει μετάδοση με πιθανότητα σφάλματος → 0.

Για αύξηση χωρητικότητας: ↑P ή ↑W.

Ερωτήσεις: 5, 29, 88

4.2 Χωρητικότητα Καναλιού με Άπειρο Εύρος Ζώνης (Ερ. 130)

Αν συγκρίνουμε ένα ενθόρυβο κανάλι με W → ∞ (Χωρητικότητα C₁) και ένα κανάλι μηδενικού θορύβου με πεπερασμένο W (Χωρητικότητα C₂):

1. Στο ενθόρυβο κανάλι, όταν W → ∞, η χωρητικότητα δεν γίνεται άπειρη, αλλά τείνει στο Όριο Shannon:

C₁ = lim (W→∞) W·log₂(1 + P/WN₀) = (P/N₀)·log₂e ≈ 1.44·(P/N₀)  [Πεπερασμένη]

1. Στο κανάλι μηδενικού θορύβου (N=0), το SNR είναι άπειρο. Άρα:

C₂ = W·log₂(1 + ∞) = ∞  [Άπειρη]

Επομένως, ισχύει C₁ < C₂. ✅ Απ: Γ

4.4 Μετάδοση Σήματος μέσω Καναλιού με Μικρότερο BW (Ερ. 136)

"Πώς μπορεί ένα σήμα εύρους W να διέλθει από κανάλι με BW < W;"

Λύση: Αυξάνουμε την ισχύ P (Shannon: C = W·log₂(1 + P/N))
Όταν P → ∞, η χωρητικότητα C → ∞ ακόμα και με μικρό W.

Βήματα:
1. Δειγματοληψία με f_s = 2W
2. Κβάντιση → παράγει ψηφιακό ρυθμό R_b
3. Επιλύουμε C = W_κανάλι · log₂(1 + P/N) ≥ R_b για P
   (N = W_κανάλι · N₀, το N₀ δίνεται)

✅ Απ Q136: Αυξάνουμε την ισχύ σύμφωνα με Shannon

4.4 Ιδανικό Κανάλι

h(t) = δ(t)  →  H(jΩ) = 1   (ιδανικό κανάλι βασικής ζώνης)

• Αν h(t) ≠ δ(t) → διάχυση σήματος → ISI (Διασυμβολική Παρεμβολή)
• Bandlimited κανάλι (με h(t) = sinc): Φάσμα = ορθογωνικό → ιδανικό για μηδενικό ISI

Ερωτήσεις: 47, 82, 93

4.5 Friis — Απόσβεση Ελεύθερου Χώρου

P_r = P_t · G_t · G_r · (λ/4πd)²    (πλήρης τύπος)
P_r ∝ 1/d²                            (απλοποιημένος)

• Διπλάσια απόσταση → 4× μικρότερη ισχύς (τετράγωνος νόμος)
• G_t, G_r = κέρδος κεραιών, λ = μήκος κύματος

Ερωτήσεις: 17, 45, 56, 120

4.6 THz Επικοινωνίες & Ατμοσφαιρική Απόσβεση

Το THz φάσμα έχει πολύ μικρή εμβέλεια λόγω: - Απορρόφηση από H₂O και O₂ στην ατμόσφαιρα - Σκέδαση από αιωρούμενα σωματίδια - Αδυναμία διαπέρασης υλικών (τοίχοι κλπ.) → Μεγάλη απώλεια path loss ανά μέτρο

Ερωτήσεις: 89

4.7 BSC (Δυαδικό Συμμετρικό Κανάλι)

C = 1 − Hb(p_error)

Ερώτηση 76: Για ποιες τιμές p μεγιστοποιείται η χωρητικότητα; → p=0 ΚΑΙ p=1 (και οι δύο δίνουν C=1) ✅ Απ: Δ

Ερωτήσεις: 57, 76

4.8 Κανάλι με BW < BW Σήματος (Ερ. 59)

Αν BW_κανάλι < BW_σήμα → κόβονται οι συχνότητες εκτός BW → απώλεια συχνοτικού περιεχομένου → παραμόρφωση κατά την ανακατασκευή.

Ερωτήσεις: 5, 59

4.9 Ζωνοπερατά Κανάλια

Δεν περιλαμβάνουν τη μηδενική συχνότητα (f=0). Το καλύτερο ζωνοπερατό κανάλι είναι αυτό με φάσμα που μοιάζει με sinc (ελάχιστο ISI).

Ερωτήσεις: 16, 80

4.10 Λευκή Στοχαστική Διαδικασία

Καμία συσχέτιση μεταξύ τιμών → αδύνατο να προβλέψεις την επόμενη τιμή. Flat φάσμα ισχύος (ίδια ισχύς σε όλες τις συχνότητες).

Ερωτήσεις: 46

4.11 Μετατόπιση Doppler

Δf = (Δv/c) · f_c

• Θετικό Δv (σώματα πλησιάζουν): αύξηση συχνότητας
• Αρνητικό Δv (σώματα απομακρύνονται): μείωση συχνότητας

Ερωτήσεις: 3

4.12 Φυσική Καναλιού & Ανάκλαση

Όταν ένα κύμα ανακλάται σε επιφάνεια: - Πλάτος: Αλλάζει (απώλειες ενέργειας) - Φάση: Αλλάζει (ιδιότητες υλικού) - Συχνότητα: Παραμένει σταθερή (εκτός αν η επιφάνεια κινείται → Doppler)

Ερωτήσεις: 2

5.1 Sinc Παλμός (Ιδανικός Nyquist)

g(t) = sinc(t/T_s) = sin(πt/T_s) / (πt/T_s)
B_min = R_s / 2     (ελάχιστο BW για μηδενικό ISI)

Ιδιότητα: g(nT_s) = 0 για n≠0 → μηδενικό ISI στα δειγματοληπτικά σημεία.

Ερωτήσεις: 34, 43

5.2 Raised Cosine (RC)

B = (R_s / 2) · (1 + α)     [Hz]

• α = 0: Ταυτόχρονο με sinc (B_min = Rs/2) — πρακτικά αδύνατο
• α = 0.5: B = 0.75 · R_s
• α = 1: B = R_s (διπλάσιο BW, ευκολότερη υλοποίηση)

Ερώτηση 35: Rs = 20 Gsymbols/s, α = 0.5

B = (20G/2) × 1.5 = 15 GHz

✅ Απ: Δ

Ερώτηση 43: Rs = 10 Gsymbols/s, sinc (α=0)

B = 10G/2 = 5 GHz

✅ Απ: Β

5.3 SRRC (Square Root Raised Cosine)

Χρησιμοποιείται σε πρακτικά συστήματα: - Πομπός: Φίλτρο √RC - Δέκτης: Φίλτρο √RC (= προσαρμοσμένο στον πομπό) - Συνολικό αποτέλεσμα: √RC × √RC = RC (ικανοποιεί τη συνθήκη Nyquist)

Ερωτήσεις: 5

5.4 Ζεύγος Χρόνου-Συχνότητας (Δυικότητα)

Ορθογωνικός παλμός (χρόνος) ↔ sinc (συχνότητα)
sinc (χρόνος)                ↔ ορθογωνικός (συχνότητα)

Εξήγηση: Αρχή αβεβαιότητας χρόνου-συχνότητας: Δt · ΔΩ ≥ 1/2

Ερωτήσεις: 1, 36, 90

5.5 Κρουστική Απόκριση & Εύρος Ζώνης

Μεγαλύτερο BW → γρηγορότερη απόκριση (πιο γρήγορη απόσβεση h(t) στον χρόνο).

Ερώτηση 1: K1 (μεγαλύτερο BW) → κρουστική απόκριση αποσβένεται γρηγορότερα από K2.

6.1 Huffman — Βασικές Αρχές

L_avg = Σ pᵢ · lᵢ ≥ H(X)     (μέσο μήκος ≥ εντροπία)

• Συχνότερα σύμβολα → κοντύτερες λέξεις κώδικα
• Σπανιότερα σύμβολα → μακρύτερες λέξεις κώδικα
• Βελτίωση: εφαρμογή σε εκτεταμένες πηγές (blocks πολλών χαρακτήρων) → πλησιάζει στο H(X)

Αναδιάταξη κειμένου & Huffman: - Απλή Huffman (ανά χαρακτήρα): Ο κώδικας Huffman είναι στατιστικός κώδικας χωρίς μνήμη. Η τυχαία αναδιάταξη των χαρακτήρων δεν αλλάζει τη συχνότητα εμφάνισης του κάθε γράμματος (το πλήθος των 'α', 'β' κλπ. παραμένει ίδιο). Επομένως, οι πιθανότητες είναι ίδιες, το δέντρο είναι ολόιδιο, και η συμπίεση θα είναι ακριβώς η ίδια. (Ερ. 69, 125) ✅ Απ: Α - Εκτεταμένη Huffman (bigrams/trigrams): Η αναδιάταξη αλλάζει τις πιθανότητες των συνδυασμών → χειρότερη συμπίεση (κανονικό κείμενο έχει "th", "he" κλπ.)

Ερωτήσεις: 9, 69, 125

6.2 Kraft-McMillan Ανισότητα — ΝΕΟΣ ΤΥΠΟΣ

Σᵢ 2^(−lᵢ) ≤ 1

Σημασία: - Ικανή συνθήκη για ύπαρξη προθεματικού (prefix-free) κώδικα με αυτά τα μήκη - Αναγκαία συνθήκη για μοναδικά αποκωδικοποιήσιμο κώδικα

Ιεραρχία κωδίκων:

Στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος ⊂ Προθεματικός (prefix-free) ⊂ Μοναδικά αποκωδικοποιήσιμος

Προθεματικός κώδικας: Καμία λέξη κώδικα ΔΕΝ αποτελεί πρόθεμα (αρχή) άλλης. - Παράδειγμα: {0, 10, 110, 111} ✓ (prefix-free) - Παράδειγμα: {0, 01, 10, 11} ✗ (0 είναι πρόθεμα του 01)

Ερωτήσεις: 40

6.3 Σύγκριση Κωδίκων (Ερ. 102)

Κριτήρια με σειρά προτεραιότητας: 1. Ελέγχω αν είναι έγκυρος (L_avg ≥ H(X)) 2. Ελέγχω αν είναι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος (prefix-free) 3. Μικρότερο L_avg = μεγαλύτερη αποδοτικότητα

Ερώτηση 102: H=1.75, K1: L_avg=2.5, K2: L_avg=2.25

Αμφότεροι ≥ H(X). Ο K2 είναι prefix-free ΚΑΙ έχει μικρότερο L_avg (πιο κοντά στο 1.75)

✅ Απ: Δ (K2 καλύτερος)

6.4 Μέσο Μήκος & Shannon (Ερ. 91)

Ερώτηση 91: H = 1.64 bits/symbol → αδύνατο να αναπαρασταθεί με L_avg = 1.5 → Παραβιάζεται το κάτω φράγμα Shannon: L_avg ≥ H ✅ Απ: Γ

6.5 PCM / DPCM / ADPCM

Ερωτήσεις: 60

6.6 Ισοπίθανα Σύμβολα & Huffman

Ερώτηση 86: 8 ισοπίθανα σύμβολα (p=1/8 για καθένα)

H = log₂(8) = 3 bits/σύμβολο

→ Δεν υπάρχει τίποτα για εξοικονόμηση (όλα ισοπίθανα) → χρειάζονται ακριβώς 3 bits ✅ Απ: Δ

7.1 BER vs SER — Σχέση

BER ≤ SER ≤ k · BER   (k = log₂M = bits/σύμβολο)

Ερμηνεία: - Ένα λάθος σύμβολο ≠ 1 λάθος bit — μπορεί να είναι 1 έως k λάθη bits - BER = SER μόνο αν κάθε λάθος σύμβολο → ακριβώς 1 λάθος bit (= Gray encoding) - BER = 1 μόνο αν SER = 1 (δηλαδή κάθε σύμβολο λάθος ΚΑΙ κάθε bit λάθος)

Παραδείγματα:

0000→1111 (Natural binary, όχι Gray): SER=1, BER=4/4=1 → SER=BER
0000→0001 (Gray, 1 bit διαφορά):      SER=1, BER=1/4  → SER=4·BER (μέγιστη διαφορά)

Παραδείγματα ανά σχήμα: - 16-PAM (k=4): BER μπορεί να είναι έως 4× μικρότερο από SER → Q94 ✅ Απ: Α - 32-PSK (k=5): BER μπορεί να είναι έως 5× μικρότερο από SER → Q127 ✅ Απ: Γ

Ερωτήσεις: 4, 52, 64, 94, 127

7.2 Gray Encoding

• Διαδοχικά σύμβολα διαφέρουν ακριβώς 1 bit
• Σε γειτονικό σφάλμα (κοντινότερος γείτονας) → 1 λάθος bit
• Σύμβολα τοποθετούνται στα άκρα (π.χ. για 4-PAM: −3a, −a, a, 3a → Gray: 00, 01, 11, 10)

Ερωτήσεις: 14, 52, 72

7.3 Κατώφλι Απόφασης — AWGN (μ=0)

θ* = (a + b) / 2

7.4 Κατώφλι — Μη Συμμετρικός Θόρυβος

Γενικός κανόνας (Τομή PDF): Σχεδίασε τις δύο κατανομές του θορύβου, μία με κέντρο το σύμβολο a και μία με κέντρο το σύμβολο b. Το ιδανικό κατώφλι (κριτήριο MAP/ML) είναι το σημείο που τέμνονται οι δύο κατανομές.

Για συμμετρικό θόρυβο με μέση τιμή μ ≠ 0, το κάθε σύμβολο πρακτικά "μεταφέρεται" κατά μ:

Νέα αποτελεσματική θέση συμβόλων: a' = a + μ,  b' = b + μ
θ* = (a' + b') / 2 = (a + μ + b + μ) / 2 = (a + b)/2 + μ

Ερώτηση 13: {−2, 1}, θόρυβος τριγωνικός ισοσκελής με μ=1

a' = −2+1 = −1,  b' = 1+1 = 2
θ* = (−1+2)/2 = 0.5

✅ Απ: Β

Ερώτηση 31: {−2, 2}, θόρυβος τριγωνικός με μ=−1

a' = −2−1 = −3,  b' = 2−1 = 1
θ* = (−3+1)/2 = −1

✅ Απ: Α

Ερώτηση 62: {−3, 1}, θόρυβος ομοιόμορφος U[−1, 3] → μ = (−1+3)/2 = 1

a' = −3+1 = −2,  b' = 1+1 = 2
θ* = (−2+2)/2 = 0

✅ Απ: Α

Ερώτηση 128: {−2, 2}, θόρυβος ομοιόμορφος U[α,β] με μ=1

a' = −2+1 = −1,  b' = 2+1 = 3
θ* = (−1+3)/2 = 1

✅ Απ: Γ

Ερώτηση 135: {−2, +2}, θόρυβος ομοιόμορφος U[0, 4] → μ = (0+4)/2 = 2

a' = −2+2 = 0,  b' = 2+2 = 4
θ* = (0+4)/2 = 2  → "πιο μετά από το 0" (θετική μεριά)

✅ Απ: Θετικά του 0 (> 0)

7.5 Κατώφλι — BSC με Υψηλό p_error (Ερ. 38)

Ερώτηση 38: Δυαδική πηγή χωρίς μνήμη, 10 Mb/s → BSC με p=0.8.

Ο ρυθμός σωστής μεταβίβασης = C · f_s αλλά δεν γνωρίζουμε ποια σύμβολα είναι σωστά/λάθος χωρίς επιπλέον πληροφορία.

✅ Απ: Δ — "Δεν μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια"

7.6 AWGN Θόρυβος

7.7 Μετρική Απόδοσης ΨΤΣ

• BER ή SER → κύρια μετρική ψηφιακών τηλεπικοινωνιών
• Bps (Bits per second) → ρυθμός, όχι μέτρο ποιότητας
• SNR ή Bps → μετρική αναλογικών (θέλουμε ακριβή αναπαραγωγή σήματος)

Ερωτήσεις: 14, 55

8.1 Διαστάσεις ανά Σχήμα

8.2 Σχέση M ≥ N (Γενικός Κανόνας)

Γενικά: M ≥ N (σύμβολα ≥ διαστάσεις)
FSK/PPM: M = N (ειδική ισότητα)
Εξαίρεση: Μπορεί N > M (σπατάλη — π.χ. 1-PSK)

Ερωτήσεις: 25, 53, 63

8.3 Ταξινόμηση κατά Αύξουσες Διαστάσεις (Ερ. 73)

16PAM(N=1) < 2PPM(N=2) = 4PSK(N=2) = 8QAM(N=2) < 4FSK(N=4)

✅ Απ: Δ

9.1 Αρχιτεκτονική Συστήματος

ΠΟΜΠΟΣ:
Αναλογικό → [ΚΠ] → [ΚΚ] → [ΨΔ] → Κανάλι

ΔΕΚΤΗΣ:
Κανάλι → [ΨΑΔ] → [ΑΚΚ] → [ΑΚΠ] → Αναλογικό

9.2 Αναλυτικός Πίνακας Τοποθέτησης

Ερωτήσεις: 12, 26, 65, 66, 110